Książki

podręczniki akademickie

Algebra macierzy liczbowych

Opis książki Algebra macierzy liczbowych:

Podręcznik jest przeznaczony dla studentów pierwszego roku wyższych szkół technicznych. Omawia rachunek na skończonych macierzach liczbowych, a więc także na wektorach (mających dwie, trzy i dowolną liczbę współrzędnych) i liczbach zespolonych (jako że jedną z reprezentacji liczby zespolonej jest zapis macierzowy).


Zamieszcza liczne przykłady, przedstawia wzory (np. z zakresu geometrii analitycznej – równania prostej i płaszczyny w rzeczywistej przestrzeni trzywymiarowej) i algorytmy (np. obliczania wyznacznika, wyznaczania rzędu, znajdowania rozwiązania układu równań algebraicznych liniowych) oraz kryteria (np. równoległości prostych na plaszczyźnie, istnienia wspólnego dzielnika dwóch wielomianów, stabilności wielomianów w sensie Hurwitza).
Szczególniejszą uwagę zwraca na relację równoważności i generowane przez nią klasy abstrakcji oraz na izomorficzną nierozróżnialność określonych struktur algebraicznych (takich jak grupa, pierścień, ciało i przestrzeń liniowa), w ten sposób wprowadzając czytelnika w algebrę abstrakcyjną

Spis treści:
Wstęp 3
Uwagi edytorskie 4
1. O zbiorach i funkcjach 5
1-a. Aksjomatyczna struktura matematyki 5
1-b. Wybrane wiadomości o zbiorach 7
1-c. Podstawowe wiadomości o funkcjach 9
1-d. Relacja równoważności 14
1-e. Ciągi 18
1-f. Multifunkcja 20
2. Zbiory liczbowe i abstrakcyjne struktury algebraiczne 21
2-a. Klasyczne zbiory liczbowe 22
2-b. Grupa 25
2-c. Pierścień 32
2-d. Ciało 34
2-e. Rozszerzenie zbioru liczbowego 35
3. Przestrzeń liniowa 37
3-a. Definicja przestrzeni liniowej 37
3-b. Kombinacja liniowa i liniowa niezależność 40
3-c. Baza przestrzeni liniowej i reprezentacja elementu w bazie 42
4. Wektory na płaszczyźnie euklidesowej 45
4-a. Euklidesowy wektor zaczepiony 46
4-b. Geometryczny wektor zaczepiony 48
4-c. Kartezjański wektor zaczepiony 54
4-d. Wektor swobodny 55
4-e. Iloczyn skalarny wektorów i ortogonalność wektorów 58
4-f. Równoległość wektorów 62
4-g Iloczyn skalarny w opisie zależności fizycznych w R 2 64
5. Wektory w przestrzeni R3
66
5-a. Wektor zaczepiony 66
5-b. Wektor swobodny 68
5-c. Iloczyn skalarny wektorów i ortogonalność wektorów 70
5-d. Równania prostej i płaszczyzny w przestrzeni R3 71
5-e. Iloczyn wektorowy 74
5-f. Iloczyn mieszany wektorów 76
5-g Iloczyn skalarny w opisie zależności fizycznych w R3 77
6. Algebra n-wymiarowych wektorów rzeczywistych 79
6-a. Wektory w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej 79
6-b. Iloczyn skalarny w Rn 82
7 Liczby zespolone 87
7-a. Liczby zespolone w postaci kartezjańskiej 87
7-b Postać gaussowska, hamiltonowska liczby zespolonej 93
7-c. Postać trygonometryczna liczby zespolonej 95
7-d. Wzór de Moivre’a 96
7-e. Pierwiastkowanie liczby zespolonej 98
7-f. Zasadnicze twierdzenie algebry 100
7-g. Logarytm liczby zespolonej 101
7-h. Eksponens, kosinus i sinus zmiennej zespolonej 102
7-i. Wzór Eulera i postać wykładnicza liczby zespolonej 103
7-j. Najpiękniejszy wzór na świecie 104
7-k. Równoważnik rzeczywisty funkcji zmiennej zespolonej 105
8 Podstawy rachunku macierzowego 108
8-a. Definicja macierzy 108
8-b. Wektory, czyli macierze jednokolumnowe oraz jednowierszowe 115 8-c. Bloki i podmacierze 116
8-d. Transponowanie macierzy 188
8-e. Dodawanie i skalowanie macierzy 119
8-f. Mnożenie macierzy 120
8-g. Macierze permutacyjne 123
8-h. Macierze skalujące i sumujące 126
8-i. Elementarna równoważność macierzy i pivot 128
8-j. Ural 131
8-k. Izometrie płaszczyzny rzeczywistej i zespolonej 133
8-l. Endomorfizm i jego macierz 137
8-m. Iloczyn Kroneckera 138
9. Funkcje liczbowe macierzy liczbowej 139
9-a. Wyznacznik 139
9-b. Rząd macierzy 149
9-c. Wyznacznik w geometrii płaskiej 153
9-d. Wyznacznik w trzywymiarowej geometrii euklidesowej 156
9-e. Wyznaczniki stowarzyszone z wielomianami 159
9-f. Macierzowa reprezentacja liczb zespolonych 164
9-g. Ślad macierzy 165
9-h. Normy macierzowe 166
10. Odwracanie macierzy 168
10-a. Macierz odwrotna 168
10-b. Wyznacznikowe wyliczanie macierzy odwrotnej 170
10-c. Algorytm Gaussa odwracania macierzy 172
10-d. Podobieństwo macierzy 177
10-e. Reprezentacja macierzowa układu wektorów 179
10-f. Macierz zamiany baz 181
10-g. Grupy macierzowe 187
10-h. Kwaterniony 188
11 Rozwiązywanie uralów 191
11-a. Wzór prosty 191
11-b. Wzory Cramera 194
11-c. Metoda eliminacji Gaussa 197
11-d. Twierdzenie Kroneckera-Capelliego 204
11-e. Rozkład trójkątny 210
11-f. Wskaźnik uwarunkowania macierzy 214
11-g. Twierdzenie Buckinghama 217
11-h. Wyznaczanie wspólnego dzielnika wielomianów 222
11-i. Zagadnienie transportowe 224
11-j. Ural jako kombinacja liniowa i jego rozwiązanie fundamentalne 230
Dodatek. Krótkie zestawienie podstawowych pojęć algebry abstrakcyjnej 234
Bibliografia 235